Équation polynômiale (3) - Corrigé

Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) = 2 z^4 + 3 z^3 + 8 z^2 + 6 z + 8\) .

1. Déterminer un polynôme \(Q\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z)=(z^2+2)Q(z)\) .

2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(P(z)=0\) .

Solution

1. On cherche \(Q\) sous la forme \(Q(z)=az^2+bz+c\) , avec \(a,b\)  et \(c\)  des réels. En identifiant les coefficients de \((z^2 +2)Q(z)\) avec ceux de \(P\) , on trouve :  \(Q(z)= 2z^2+3z+4\) .

2. On a alors (équation produit nul et discriminant de \(Q\) ) : \(S = \left\lbrace -2i; 2i ; -\dfrac{3}{4} - i \dfrac{\sqrt{23}}{4} ; -\dfrac{3}{4} + i \dfrac{\sqrt{23}}{4} \right\rbrace\)